ÇARPANLAR VE KATLAR KONU ANLATIMI      kez okundu.

Bu bölümde çarpanlar,katlar,ebob ve ekok konularını göreceksiniz.

Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu iki sayıdan her birine o sayının çarpanı denir.

Bir sayının çarpanı aynı zamanda o sayının kalansız bölenidir.

ÖRNEK:

24 sayısı iki doğal sayının çarpımı olarak 

1 . 24, 

2 . 12, 

4 . 6, 

8 . 3 şeklinde yazılabilir.

24’ün çarpanları 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1 olur. Bu sayılar aynı zamanda 24 sayısını kalansız böler.

***
ÖRNEK:

15 sayısının 100’den küçük olan tüm katlarını yazarsak:

1 . 15 = 15 

2 . 15 = 30 

3 . 15 = 45 

4 . 15 = 60 

5 . 15 = 75  

6 . 15 = 90 

15 sayısının 100’den küçük olan katları 15, 30, 45, 60, 75 ve 90’dır.

***
ÖRNEK:

90, 23 ve 17 sayılarını çarpanlarına ayıralım.

90 sayısı 1 . 90, 

2 . 45,

6 . 15, 

3 . 30, 

18 . 5,

9 . 10 gibi altı farklı şekilde iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir.

90 sayısının çarpanları 90, 45, 30, 18, 15, 10, 9, 6, 5, 3, 2, 1’dir.

23 =1 . 23 ’tür. 23 sayısı iki doğal sayının çarpımı olarak yalnız bir şekilde yazılabilir. 23 sayısının çarpanları 23 ve 1 sayılarıdır.

17 = 1 . 17 ’dir. 17 sayısı iki sayının çarpımı olarak yalnız bir şekilde yazılabilir. 17 sayısının çarpanları 17 ve 1 sayılarıdır.

Bu nedenle 17 ve 23 sayıları asal sayılardır.

***

1’den büyük, 1 ve kendisinden başka hiçbir böleni olmayan doğal sayıya asal sayı denir.

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...} kümesine asal sayılar kümesi denir.

Asal sayılar kümesinde 2’den başka çift doğal sayı yoktur.

**
ÖRNEK:

110 sayısını asal sayıların çarpımı şeklinde yazalım.

I. yöntem: Çarpan ağacı

110 = 2 . 5 . 11 dir.

II. yöntem: Asal çarpanlar algoritması (Algoritma: sonuca en hızlı biçimde ulaşılması işlemi)



110 = 2 . 5 . 11 şeklinde asal çarpanlarına ayırabiliriz.

***
ÖRNEK:

72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

I. yöntem: Çarpan ağacı

72 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3

= 23 . 32

II. yöntem: Asal çarpanlar algoritması 

72 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3

= 23 . 32

***
İki ya da daha fazla doğal sayının 1’den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir.

***

ÖRNEK:

15 ve 16,  

17 ve 22, 

7 ve 8, 

11 ve 13 gibi...

Sayıların aralarında asal sayı olabilmesi için asal sayı olması şart değildir.

ÖRNEK:

9 ve 14 aralarında asal sayıdır.

İki sayı da asal sayı değildir fakat 1'den başka ortak bölenleri olmadığı için aralarında asal sayılardır. 

Çünkü 9 sayısı 3 ve 9 bölünürken, 14 sayısı 2, 7 ve 4'e bölünür. Görüldüğü gibi 1'den başka ortak bölenleri yoktur.

EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)

İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı denir.

a ve b doğal sayılarının en küçük ortak katı EKOK (a, b) veya (a, b)ekok şeklinde gösterilir.

***
ÖRNEK:

30 ve 9 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.

Bir sayının hem 30’un hem de 9’un en küçük ortak katı olması için:

30’un katlarının kümesi: {30, 60, 90 , 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360, 390,420,...}

9’un katlarının kümesi: {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 , 99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 189, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261, 270, 279, 288, 297, 306, 315, 324, 333, 342, 351, 360, 369, 378, ...}

30 ve 9 sayılarının ortak katlarının kümesi: {90, 180, 270, 360, ... }’dir. Ortak katların en küçüğü 90’dır. 

O hâlde EKOK (30, 9) = 90’dır.

Bu yöntem kullanışsız olduğu için tercih edilmez.

II. Yöntem: 30 ve 9 sayılarının EKOK’u bu iki sayıya aynı anda asal çarpanlar algoritması uygulanarak da bulunabilir.

30 ve 9’un en küçük ortak katı, EKOK (30, 9) = 2 . 3 . 3 . 5 = 90’dır.

***
ÖRNEK:

168, 90 ve 150 sayılarının EKOK’unu bulalım.

168, 90 ve 150 sayılarına asal çarpanlar algoritması uygularız.

EKOK (168, 90, 150) = 23 . 32 . 52 . 7 = 12 600 olur.

***
ÖRNEK:

Aynı hastanede çalışan iki doktordan biri 6 günde bir, diğeri ise 8 günde bir nöbet tutmaktadır.

Bu iki doktor aynı gün nöbet tuttuktan kaç gün sonra tekrar birlikte nöbet tutacaklardır?

ÇÖZÜM:

EKOK’tan yararlanarak bulabiliriz.

EKOK (6,8) = 24 olur. Doktorlar 24 gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar.

***
EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)

İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir. 

a ve b doğal sayılarının en büyük ortak böleni EBOB (a, b) veya (a, b)ebob şeklinde gösterilir.

***
ÖRNEK:

40 ile 60 sayılarının EBOB'unu bulalım.

ÇÖZÜM:

40 ve 60 sayılarının en büyük ortak böleni aşağıdaki gibi asal çarpanlar algoritması kullanarak da bulunabilir.

Bu yöntemde sayılar en küçük asal sayıdan başlanarak bölünür, her iki sayıyı birlikte bölen asal sayılar işaretlenir.

Daha sonra işaretlenen sayılar çarpılır.

40 ve 60 sayılarının EBOB’u; EBOB (40,60) = 20 olur.

***
ÖRNEK:

Dikdörtgensel bölge şeklindeki bir balkonun tabanının kenar uzunlukları 250 cm ve 150 cm’dir. Bu balkonun tabanı karesel bölge şeklindeki karolarla kaplanmak isteniyor.

a) En az sayıda karo kullanmak için karonun bir kenar uzunluğu kaç santimetre olmalıdır?

b) Kaç tane karo kullanılır?

ÇÖZÜM:

a) En az sayıda karo kullanmak için bir karonun kenar uzunluğu mümkün olan en büyük sayı seçilmelidir. Bu sayıyı, verilen uzunlukların ortak bölenlerinin en büyüğünü (EBOB) bularak elde ederiz.

250 ve 150 sayılarının her birini aynı anda bölen sayılar 2, 5 ve 5’tir. Bu sayıarın çarpımı bize EBOB’u verir.

2 . 5 . 5 = 50 EBOB (250,150) = 50’dir.

O hâlde karonun bir kenarının uzunluğu 50 cm olmalıdır.

b) Kullanılan karo sayısını bulmak için dikdörtgensel bölgenin alanını bir karonun alanına bölmemiz gerekir.

250 . 150 = 37500 cm2 (Balkonun tabanının alanı)

50 . 50 = 2500 cm2  (Bir karonun alanı)

37500 : 2500 = 15 tane karo kullanılmaktadır.

Bu sayfayı çok beğendim çok sevdiğim arkadaşlarımda faydalansın en iyisi